Задача 1. Склеивание коробки

I этап. Постановка задачи

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Имеется квадратный лист картона. Из листа по углам вырезают четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость? Какого размера надо взять лист, чтобы получить из него коробку с заданным максимальным объемом?

ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Определить максимальный объем коробки.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Проведем формализацию задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Уточняюший вопрос Ответ

Что моделируется? Объект «коробка»

Из чего получается коробка? Из картонного листа

Что известно? Длина стороны листа (a)

Как определить Проследить, как изменяется

максимальный объем объем коробки при

коробки? изменении размера выреза (b)

Как изменяется размер Увеличивается от нуля

выреза? с заданными шагом (Δb)

Какие параметры коробки Размер дна коробки (c),

изменяются при изменении площадь дна (S), объем (V),

выреза?

Что ограничивает расчеты? с>0. Размер дна не может быть

отрицательным.

II этап. Разработка модели

ИНФОРМАЦИОННОАЯ МОДЕЛЬ

Для вывода формул математической модели составим геметрическую модель в виде чертежа с указанием исселуемых характеристик объекта.

Расчетные параметры объекта определяются по формулам:

c=a-2b – длина стороны дна;

S=c² – площадь дна;

V=Sb — объем.

Здесь а — длина стороны картонного листа, b — размер выреза. Первоначальный размер выреза b₀=0. Последующие размеры выреза определяются по формуле b_i+1=b_i+Δb.

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ

Для моделирования будем использовать среду табличного процессора. В этой среде информационная и математическая модели объединяются в таблицу, которая содержит три области:

• исходные данные;

• промежуточные расчеты;

• результаты.

Заполните область исходных данных по предложенному образцу. В этой области заданы тестовые исходные параметры a=40 см, Δb=1 см, которые были использованы для расчета «вручную» длины стороны дна, площади дна и объема коробки при нескольких значениях выреза.

Составьте таблицу расчета по приведенному образцу.

Введите расчетные формулы по правилам, принятым в среде электронных таблиц, принятым в среде электронных таблиц:

Ячейка Формула Пояснение

(1) A9 0 Начальный размер выреза

(2) A10 =A9+$B$5 Следующий размер выреза получается прибавлением к

предыдущему (относительная ссылка А9) шага изменения

выреза (абсолютная ссылка на область исходных данных

$B$5).

(3) B9 =$B$4-2*A9 Длина стороны дна получается вычитанием из заданной стороны листа (абсолютная ссылка $B$4) удвоенного размера выреза (относительная ссылка А9).

(4) C9 =B9^2 Площадь дна вычисляется как квадрат длины стороны дна

(относительная ссылка В9).

(5) D9 =C9*A9 Объем коробки вычисляется как произведение площади

дна (относительная ссылка В9) на размер выреза

(относительная ссылка А9), который равен высоте

коробки.

III этап. Компьютерный эксперимент

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА

ТЕСТИРОВАНИЕ

Провести тестовый расчет компьютерной модели.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1

Проследить, как изменяется с увеличением выреза

• длина сторны дна;

• площадь дна;

• объем коробки.

  ЭКСПЕРИМЕНТ 2

  Исслнедовать, как определить наибольший объем коробки и соответствующий вырез.

ЭКСПЕРИМЕНТ 3

Исследовать, как изменяется наибольший объем коробки и соответствующий вырез при изменении стороны исходного листа.

ЭКСПЕРИМЕНТ 4

Исследовать, как изменяется наибольший объем коробки и соответствующий вырез, если уменьшить шаг изменения выреза (например, при Δb=0,3 см).

ЭКСПЕРИМЕНТ 5

Подобрать размер картонного листа, из которого можно сделать картонную коробку с заданным наибольшим объемом (например, 5000 см³).

ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТЕСТИРОВАНИЕ

Сравните результаты, полученные после ввода формул, с результатами, приведенными в примере расчета. Совпадение значений с контрольным образцом показывает правильность введения формул.

Пример расчета для а=40 см, Δb=1 см.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Исследование параметров модели

1. Для проведения исследования заполните в компьютерной модели не менне 20 строк.

2. По столбцу В проследите, как изменяется длина стороны дна. Определите, сколько строк компьютерной модели надо использовать для исследования.

   Вывод. Длина стороны дна уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной. Для исследования используется диапазон строк, для которых с>0. Общее количество строк с положительными значениями с приблизительно равно а/2.

1. В диапазоне строк, подлежащих исследованию, по столбцу С проследите, как изменяется площадь дна. Сделайте вывод.

2. В диапазоне строк, подлежащих исследованию, по столбцу D проследите, как изменяется объем коробки. Сделайте вывод.

   Вывод. Объем коробки сначала увеличивается, достигает некоторого наибольшего значения, затем уменьшается.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2. Определение наибольшего объема коробки и соответствующего выреза

1. В диапазоне строк, подлежащих исследованию, по столбцу С определите наибольший объем коробки.

2. По столбцу А определите размер выреза, соответствующий наибольшему объему.

ЭКСПЕРИМЕНТ 3. Зависимость наибольшего объема коробки от размера исходного листа

1. Определите значения наибольшего объема коробки для нескольких значений длины картонного листа. Для этого:

• в ячейку В4 введите новое исходное значение;

• по столбцу В определите допустимый диапазон строк для исследования. При необходимости заполните дополнительное количество строк;

• по столбцу D определите наибольший объем коробки;

• по столбцу А определите размер выреза, соответствующий наибольшему объему.

2. Результаты экспериментов разместите в ячейках на свободном пространстве электронной таблицы по образцу.

3. Сделайте вывод и запишите его после таблицы результатов экспериментов.

ЭКСПЕРИМЕНТ 4. Зависимость наибольшего объема коробки от шага изменения выреза

1. Введите в ячейку новое значение шага изменения выреза (например, Δb=0,3 см).

2. Определите значения наибольшего объема коробки для нескольких значений длины картонного листа.

3. Результа экспериментов разместите в ячейках на свободном пространстве электронной таблицы по образцу.

4. Сравните значения наибольшего объема и соответствующего выреза, полученные в 3-м и 4-м экспериментах.

5. Сделайте вывод, позволяет ли уменьшение шага изменения выреза точнее определить наибольший объем и соответствующий вырез. Запишите вывод после таблицы результатов экспериментов.

ЭКСПЕРИМЕНТ 5. Подбор размера исходного картонного листа

1. Для подбора размера исходного картонного листа измененяйте значение ячеки и определяйте наибольший объем коробки, пока не добъетесь заданной величины.

2. Результаты экспериментов разместите в ячейках на свободном пространстве электронной таблицы по образцу.

IV этап. Анализ результатов моделирования

По результатам экспериментов сформулируйте выводы.

Составьте отчет в текстовом процессоре. В отчете отразите этапы моделирования: исходные данные, геометрическую модель, расчетные формулы, результаты экспериментов и выводы.